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Décomposition d'un nombre entier en nombres premiers

Décomposition d'un nombre entier en produit de facteurs premiers

Rappel :

Un nombre premier est un nombre entier naturel (non nul) divisible par 1 ou lui-même.

Les vingt-cinq nombres premiers inférieurs à 100 sont :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, et 97.

Propriété :

Tout nombre premier entier peut s'écrire sous la forme d'un produit de nombres premiers.

On dit qu'il est décomposé en produit de facteurs premiers.

Remarque:

La décomposition en produit de facteurs premiers est unique.

Exemple avec 60 :

60 = 30x2 = 15x2x2 = 3x5x2x2

Problème :

Un confiseur doit répartir 198 caramels et 231 chocolats dans des sachets de contenance identique.

1) Calculer le nombre maximal de sachets réalisables

2) Quel est le nombre de caramels et de chocolats contenus dans chaque sachet ?

 

Solution :

1) Le nombre de sachets doit être le plus grand diviseur commun à 198 et 231.

Il faut donc décomposer 198 et 231 en produits de facteurs premiers.

  • 198 caramels = 99x2 = 33x3x2 = 11x3x3x2
  • 231 chocolats = 3x77 = 3x7x11

Le plus grand diviseur commun à 198 et 231 est 33 (3x11).

2) Le nombre de caramels et de chocolats contenus dans chaque sachet sera de

  • 11x3x3x2 = 6 caramels 
  • 3x7x11 = 7 chocolats

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