L'objectif est :
Pour additionner deux nombres de même signe, il faut additionner les deux nombres et mettre au résultat le signe commun.
Exemples :
(-8,2) + (-2,5) = -10,7
(+3,6) + (+4,3)=3,6 + 4,3 = 7,9
(+2) + (+8) = +10
Pour additionner deux nombres de signe contraire, il faut soustraire la plus petite valeur de la plus grande et garder le signe de la plus grande valeur.
Exemples :
(+2) + (-8) = -6 (8 était la plus grande valeur. On a conservé son signe, cad -. On a soustrait 2 de 8 car 2 était la plus petite valeur.
(+16) + (-5) = +11
7,7 + (-9,7) = -2
-18 + 15 = -3
Remarque : La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à 0. Par exemple -2 + 2 = 0
Calcul d'une somme de nombres relatifs :
$$A=16+(-2,8)+(-3,5)+2,8+20+(-7,5)$$
Comme on sait que la somme de deux nombres relatifs opposés est égale à 0, donc on les barre.
$$A=16+(\cancel{-2,8})+(-3,5)+\cancel{2,8}+20+(-7,5)$$
$$A=16+(-3,5)+20+(-7,5)$$
On regroupe les nombres de même signe entr'eux et on effectue les calculs.
$$A=16+(-3,5)+20+(-7,5)$$
$$A=16+20+(-3,5)+(-7,5)$$
$$A=36+(-11)$$
$$A=25$$
Autre exemple.
$$B=(-9)+2,5+(-12)+4,8+6,5+(-3)$$
$$B=(-9)+2,5+6,5+(-12)+4,8+(-3)$$
$$B=(\cancel{-9})+\cancel{2,5}+\cancel{6,5}+(-12)+4,8+(-3)$$
$$B=+(-12)+4,8+(-3)$$
$$B=(-12)+(-3)+4,8$$
$$B=(-15)+4,8$$
$$B=-10,2$$
Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.
Exemples :
$$(-12)-(-4) = (-12) +(+4)=-8$$
$$(+2,5)-(-7)=(+2,5)+(+7)=9,5$$
$$16-20=16+(-20)=-4$$
$$-2,5-3=(-2,5)+(-3)=-5,5$$
Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs.
Exemple de calcul :
$$C=7-10+(-12)-(-7)+(-8,5)-(-12)$$
$$C=7+(-10)+(-12)+7+(-8,5)+12$$
On barre les opposés si il y en a
$$C=7+(-10)+(\cancel{-12})+7+(-8,5)+\cancel{12}$$
On regroupe les nombres de même signe entre eux
$$C=7+7+(-10)+(-8,5)$$
On effectue les calculs
$$C=14+(-18,5)$$
$$C=-4,5$$
Autre exemple. Il faudra ici donné la priorité aux calculs entre les parenthèses
$$D=(-3)+(-8+10)-(-12-(-5))$$
$$D=(-3)+2-(-12+5)$$
$$D=(-3)+2-(-7)$$
$$D=(-3)+2+7$$
$$D=(-3)+9$$
$$D=6$$
Dernier exemple.
$$E=15-20-(-8-10+3)+(-10+6)$$
$$E=15-20-(-8+(-10)+3)+(-4)$$
$$E=15-20-(-18+3)+(+4)$$
$$E=15-20-(-15)+(-4)$$
$$E=30+(-24)$$
$$E=6$$
Pour multiplier deux nombres relatifs, il faut multiplier les nombres entr'eux et appliquer la règle des signes qui est :
Ce qui donne :
$$+1\times+1=+1$$
$$+1\times-1=-1$$
$$-1\times-1=+1$$
Justification pour le produit de signes contraires :
$$3\times(-4) = (-4)+(-4)+(-4)=-12$$
Justification pour le produit de signes identiques :
$$3\times(4) = 12$$
On peut déplacer les facteurs :
$$3\times(-4) =(-4)\times3 = -12$$
La multiplication est distributive par rapport à l'addition :
$$h\times(a+b) = h\times a + h \times b$$
$$(-3)\times(4+(-4))=-3\times 0 = 0$$
$$(-3)\times(4+(-4))=(-3)\times4+(-3)\times (-4)=-12+12=0$$
Exemples :
$$3\times-7=-21$$
$$-1,75\times10=-17,5$$
$$-12\times-5=60$$
Signe d'un produit de plusieurs nombre relatifs
Dans un produit de plusieurs facteurs
Exemples :
$$F=(-2)\times5\times(-10)\times(-8) $$
$$F=(-10)\times 80 $$
$$F=-800$$
Le signe de l'opération suivante est positif car il y a 4 facteurs négatifs. 4 étant un nombre pair ... :
$$G=3\times(-1)\times(-3)\times(-4)\times(-2)$$
Selon la dernière opération effectuée dans une expression numérique, on dira que le calcul est somme, une différence, un produit ou un quotient.
Exemple :
$$A = 6+4 \times (27-7)$$
$$A = 6+4 \times (20)$$
$$A = 6\textcolor{red}{+}80$$
$$A = 86$$
Comme la dernière opération est une addition, l'expression est une somme.
On peut ne pas écrire le signe "x" d'une multiplication lorsqu'il est suivit d'une parenthèse.
Exemple :
$$A = 6+4 \times (27-7)$$
$$A = 6+4 \space (27-7)$$
$$B = 2 \times (3 + 4)$$
$$B = 2 \space (3 + 4)$$
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