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Les puissances


Soit a un nombre relatif et n un nombre entier positif.

an désigne le produit de n facteurs égaux à a.

Ainsi an = a x a x a x .... x a, et cela n fois

 

an se lit "a puissance n" ou encore "a exposant n"

 

Exemples :

$$2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$$

$$(-5)^3 = (-5) \times (-5) \times (-5) = -125$$

$$\left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{4} $$

 

Attention au rôle des parenthèses !

$$ \left( -5 \right)^2 = \left( -5 \right) \times \left( -5 \right) = 25 $$

L'exposant 2 s'applique au contenu de la parenthèse.

$$-5^2 = -5 \times 5 = -25 $$

L'exposant 2 ne s'applique qu'au nombre 5.

Un exposant s'applique uniquement à ce qui le précède immédiatement. \( \left( -5 \right)^2 \not= -5^2 \)

 

Convention :

  • \(a^1 = a\)
  • \(a^0 = 1\) (avec \(a \not=0\))
  • \(0^n = 0\) (avec \(n \not=0\))

On désigne a un nombre relatif non nul et n un nombre entier positif non nul.

a-n désigne l'inverse de an.

$$\color{red} \frac{1}{a^n}=a^{-n}$$

 

Exemples :

$$2^{-3} = \frac {1}{2^3}= \frac{1}{2\times2\times2}=\frac{1}{8}$$

$$\left(-5\right)^{-2} = \frac {1}{\left(-5\right)^2}= \frac{1}{\left(-5\right)\times\left(-5\right)}=\frac{1}{25}$$

$$\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \frac {1}{\left(\frac{2}{3}\right)^3}= \frac{1}{\left(\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{3}\right)}=\frac{1}{\frac{8}{27}}=1 \times \frac{27}{8}=\frac{27}{8}$$


a désigne un nombre relatif non nul et n un nombre entier positif non nul.

  • si a est positif, alors an et a-n sont positifs
  • si a est négatif, il y a 2 cas :
    • si n est pair, alors an et a-n sont positifs
    • si n est impair, alors an et a-n sont négatifs

Exemples :

  • \((-3)^8\) est positif car \((-3)\) est négatif et \(8\) est pair.
  • \(7^{-5}\) est positif car \(7\) est positif.
  • \((-4)^{11}\) est négatif car \((-4)\) est négatif et \(11\) est impair.
  • \((\frac{-1}{2})^{-3}\) est négatif car \((\frac{-1}{2})\) est négatif et \(3\) est impair.

Produit de deux puissances d'un même nombre

32 x 34 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 36

 

an x ap = an+p

avec  ou n et p sont deux nombres entiers relatifs non nuls.

 

Exemples :

95 x 9-3 = 95 + (-3) = 92

 

(-5)4 x (-5)-7 x (-5) = (-5)4 x (-5)-7 x (-5)1 = (-5)4+(-7)+1 = (-5)

 

Quotient de deux puissances d'un même nombre

\( \frac{7^5}{7^3} = \frac{7 \times 7 \times \cancel{7} \times \cancel{7} \times \cancel{7}}{\cancel{7}\times \cancel{7}\times \cancel{7}} = 7^2\)

 

\( \frac{2^3}{2^5} = \frac{2 \times \cancel{2} \times \cancel{2} \times 1}{\cancel{2} \times \cancel{2} \times \cancel{2} \times 2 \times 2} = \frac{1}{2^{2}} = 2^{-2}\)

 

\( \color{red} \frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}\)

 

Exemples :

\( \frac{5^{-8}}{5^{6}}=5^{-8-6}=5^{-8+(-6)=5^{-14}}\)

 

\( \frac{(-3)^{11}}{(-3)^{-5}}=(-3)^{11-(-5)}=(-3)^{11+5}=(-3)^{16}\)

 

Puissance d'un produit

\( (3 \times 5)^2 = 3 \times 5 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5^2 \)

 

\( \color{red} (a \times b)^n = a^n \times b^n\)

 

Exemples

\( 0,7^9 \times 10^9 = (0,7 \times 10)^9 = 7^9\)

\( (3x)^2 = 3^2 \times x^2 = 9x^2\)

 

Puissance d'une puissance

\( (2^{-3})^4 = 2^{-3} \times 2^{-3} \times 2^{-3} \times 2^{-3} = 2^{-12}\)

 

\( (a^{n})^p = a^{n \times p}\)

 

Exemples :

\( (5^{-9})^{-2} = 5^{-9 \times (-2)} = 5^{18}\)

 

\( [(-3)^{6}]^{-5} = (-3)^{6 \times (-5)}=(-3)^{-30} \)


  • En l'abscene de parenthèses, on cacule les puissances avant d'effectuer les autre opérations.
  • En présence de parenthèses, les calculs entre parenthèses sont prioritaires.

 

Exemples

\( A = (-5)^{2} + 2 \times 3^{3} - 24 \div 2^{2} \)

\( A = 25 + 2 \times 27 - 24 \div 4 \)

\( A = 25 \times 54 - 6 \)

\( A = 79 - 6 \)

\( A = 73 \)

 

\( B = (14 + 4 \times 3^{2}) + ( 7^{2} -2 \times 8-3) \)

\( B = (14 + 4 \times 9) + ( 49 -16 -3) \)

\( B = (14 + 36) + ( 49 -16 -3) \)

\( B = 50 \times ( 33 -3) \)

\( B = 50 \times 30 \)

\( B = 1500 \)

 

\( C = 5 \times 4^{-2} -32^{-1} \)

\( C = 5 \times \frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{32^{1}} \)

\( C = \frac{5}{1} \times \frac{1}{16} - \frac{1}{32} \)

\( C = \frac{5}{16} - \frac{1}{32} \)

\( C = \frac{10}{32} - \frac{1}{32} \)

\( C = \frac{9}{32} \)