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Le coefficient de proportionnalité

En mathématiques, on dit que deux séries de nombres sont proportionnelles quand on peut passer de l’une à l’autre en multipliant ou divisant la première par une même constante non nulle. Dans le cas où l’on multiplie, ce facteur constant est appelé coefficient de proportionnalité.

Dit autrement, deux grandeurs sont proportionnelles si on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.

Un tableau de proportionnalité est un tableau qui représente 2 grandeurs proportionnelles.

Si on multiplie les valeurs de la première ligne par le coefficient de proportionnalité, on obtient les valeurs de la seconde ligne.

Dans le même ordre d'idées, on trouve le coefficient de proportionnalité en prennant une valeur de la seconde ligne que l'on divise par celle de la première.

Voici un exemple de tableau de proportionnalité.
Ce tableau est proportionnel car à chaque fois que l'on divise le nombre de la seconde ligne par celui de la première, on trouve le même résultat, cad ici 3,73

Il y a proportionnalité dans un tableau lorsque les termes de la second ligne s'obtiennent ceux de la première ligne par un même nombre, cad un même coefficient de proportionnalité.

Par exemple, les prix ci-dessous sont'ils proportionnel ?

 

Distance en km 120 200 350
Tarif SNCF en € 15,6 26 45,5

 

Pour le savoir on calcul les quotients de chaque colonne :

  • \( \frac{15,6}{120} = 0,13 \)
  • \( \frac{26}{200} = 0,13 \)
  • \( \frac{45,5}{350} = 0,13 \)

 

Distance en km 120 200 350
Tarif SNCF en € 15,6 26 45,5
Résultat du calcul 0,13 0,13 0,13

 

On constate que tous les quotiens sont égaux. Le prix payé est donc proportionnel à la distance parcourue. On est donc bien dans un cas de proportionnalité, et le coefficient de proportionnalité est de 0,13.

 

Autre exemple :

On remplit un réservoir à l'aide d'un tuyau d'arrosage. On mesure le volume d'eau contenu dans le réservoire en fonction de la durée de remplissage.

Durée de remplissage (en min) 3,5 21 35
Volume d'eau (en L) 20 120 200

 

On va ici voir que le coefficient de proportionnalité peut ne pas avoir d'écriture décimale, et un cofficient de proportionnalité est toujours une valeur exacte.

 

  • \( \frac{20}{3,5} = \frac{200}{35} = \frac{5 \times 40}{5 \times 7} = \frac{40}{7} \)
  • \( \frac{120}{21} = \frac{40 \times 3}{7 \times 3} = \frac{40}{7} \)
  • \( \frac{200}{35} = \frac{5 \times 40}{5 \times 7} = \frac{40}{7} \)

Tous les quotients sont égaux. Le volume d'eau dans le réservoir est proportionnel à la durée du remplissage. Le coefficient de proportionnalité est de \( \frac{40}{7}\);

Voici un dernier cas de proportionnalité :

Albert nourrit son chien avec des croquettes.

Chaque sac de croquettes coûte 12,50€.

Quel est le prix de 5 sacs de croquettes ?

 

  • 5 sacs de croquettes couteront 12,50 x 5 = 62,5€
  • 6 sacs de croquettes couteront 12,50 x 6 = 75€

Le coefficient de proportionnalité est ici de 12,50€

 

Savoir reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique

Prenons une représentation graphique :

Dans une situation de proportionnalité, les points de la représentation graphique sont alignés avec l'origine du repère.

Si les points d'une représentation graphique sont alignés avec l'origine du repère, alors ces points représentent une proprotionnalité.


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