Multiples et diviseurs

Définition 1

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers.

\(b\) est un diviseur de \(a\) si l'on peut trouver  un entier \(q\) tel que \(a = b \times q\)

 

Exemple :

6 est un diviseur de 36 car 36 = 6 x 6, 36 est divisible par 6, 36 est un multiple de 6, 6 divise 36.

 

Définition 2

Soit \(a\) un entier, \(a\) est un nombre :

• Pair lorsqu'il existe un entier \(k\) tel que \(a = 2 \times k\) ; autrement dit \(a\) est un multiple de 2, ou encore \(a\) est divisible par 2
• Impair lorsqu'il existe un entier \(k\) tel que \(a = 2 \times k + 1\) ; dans ce cas \(a\) n'est pas divisible par 2.

 

Exemple :

• \(17 = 2 \times 8 + 1\) est un nombre impair
• \(38 = 2 \times 19\) est un nombre pair

 

Théorème

Soit \(a\) un entier. Si \(b\) et \(b'\) sont deux multiples de \(a\), alors \(b + b'\) est un multiple de \(a\).

 

Démonstration :

Si \(b\) et \(b'\) sont deux multiples de \(a\), alors il existe \(q\) et \(q'\) tel que

\(b = a \times q\)

\(b' = a \times q'\)

 \(b + b' = a \times q + a \times q' = a \times (q + q')\)

Donc \(b + b'\) est un multiple de \(a\).

Exemple :

9 est un multiple de 3 et 27 est un multiple de 3, donc 9 + 27 = 36 est aussi un multiple de 3.